РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ ОТКОСОВ ВЫСОКИХ НАСЫПЕЙ И ГЛУБОКИХ ВЫЕМОК

17. Для оценки устойчивости откосов, предполагая, что нарушение устойчивости откоса может произойти в форме обрушения со срезом и вращением, следует использовать метод круглоцилиндрических поверхностей скольжения в модификации К. Терцаги.
18. Степень устойчивости откоса оценивается в этом случае по величине коэффициента запаса устойчивости, определяемого по отношению момента удерживающих сил к моменту сдвигающих сил относительно центра наиболее опасной дуги скольжения:
                                                              (3)
19. Для определения коэффициента устойчивости выделенный при расчете отсек, ограниченный кривой скольжения, разделяют вертикальными сечениями на ряд блоков, примерно одинаковых по ширине. Границы блоков назначают в местах перелома линии откоса, в местах пересечения границ различных слоев откоса с поверхностью скольжения и т.п.
Ширину блоков не следует принимать более 2 - 3 м в целях уменьшения погрешности исчисления площади.
Определяют силы, действующие на каждый блок:
1) силу Q , приложенную в центре тяжести блока, равную собственному весу блока;
2) реакцию грунта на поверхности скольжения, которая состоит из силы трения ( N · tg φ ), прямо пропорциональной нормальному давлению, и силы сцепления (с· l ),
где φ - угол внутреннего трения грунта, град;
с - удельное сцепление грунта, т/м2;
l - длина отрезка дуги скольжения в пределах данного блока, м;
N = Q · cos α - нормальная составляющая веса блока Q ;
α - угол наклона поверхности скольжения блока к горизонту;
5) сдвигающую силу T = Q · sin α .
После этого определяют коэффициент устойчивости откоса для принятой поверхности скольжения. При этом выражение ( 3) можно записать в виде
                                          (4а)
где Туд и Тсдв - сдвигающие силы соответственно в пассивной и активной зонах,
или
                      (4б)
Формула ( 4а) принята при расчете железнодорожных насыпей и выемок, (4б) - автодорожных.
20. Наиболее опасная поверхность скольжения может проходить через подошву откоса или располагаться глубже подошвы (рис. 4). Вероятность прохождения опасной дуги скольжения через подошву откоса повышается с увеличением его крутизны, а также с увеличением значений сдвиговых характеристик грунтов основания откоса по сравнению со значениями сдвиговых характеристик грунта самого откоса. При практических расчетах следует рассматривать оба возможных варианта прохождения поверхности скольжения, за исключением случаев, когда поверхность скольжения не может пройти в основании (очень прочный грунт в основании откоса).

Рис. 4. Положение круглоцилиндрической поверхности скольжения по отношению к откосу
Способы определения положения центра наиболее опасной поверхности скольжения
Способ последовательного приближения
21. Центр критической дуги скольжения, проходящей через подошву ненагруженного откоса выемки, а также откоса автодорожной насыпи находят следующим образом.
Предварительно находят точку О пересечения двух прямых АО и СВ. Прямую АО проводят под углом 25° к средней (рис. 5) поверхности откоса. Прямую СВ проводят через бровку откоса и точку В, отстоящую от поверхности насыпи или выемки на глубину 2 Н и от подошвы откоса на расстояние 4,5 Н.
Точка О принимается в первом приближении за центр критической кривой скольжения. Проведя из этого центра кривую скольжения, определяют коэффициент запаса для полученного отсека. Далее на прямой СВ выбирают еще несколько точек в качестве центров кривых скольжения на расстоянии примерно 0,25 Н друг от друга и повторяют эти расчеты до тех пор, пока не будет определено положение точки, отвечающей минимальному коэффициенту устойчивости.

Рис. 5. Нахождение центра критической поверхности скольжения, проходящей через подошву откоса, способом последовательного приближения
22. После нахождения на прямой СВ центра наиболее опасной дуги скольжения, которой соответствует минимальный коэффициент запаса устойчивости, необходимо путем ряда аналогичных попыток найти центр наиболее опасной кривой скольжения по прямой ДЕ вправо и влево от центра критической кривой, расположенного на прямой СВ.
23. Окончательно за расчетную принимают наиболее опасную кривую скольжения с центром на прямой ДЕ, которой соответствует минимальный коэффициент запаса устойчивости.
24. Центр критической кривой скольжения, проходящий через основание откоса, располагается в зоне между вертикалью и нормалью, проведенными из середины поверхности откоса средней крутизны (рис. 6). Верхняя точка выхода кривой скольжения первоначально принимается на основе предшествующих расчетов, выполненных по пп. 21 - 25.
В первом приближении этот центр назначают на биссектрисе угла δ на расстоянии Н от точки М. На продолжении линии ОМ через 0,25 Н откладывают центры для последующих этапов нахождения критической кривой скольжения. Через центр критической кривой скольжения, которой соответствует n точ , проводят линию ДЕ перпендикулярно ОМ, где также через 0,25 Н откладывают центры возможных критических кривых скольжения для проверочных расчетов.
За расчетный принимают наименьший коэффициент запаса устойчивости, соответствующий критической кривой скольжения, проведенной из центра, расположенного на прямой ДЕ.

Рис. 6. Нахождение центра критической поверхности скольжения, проходящей через основание откоса, способом последовательного приближения
25. При расчете устойчивости откосов железнодорожных насыпей необходимо руководствоваться следующими практическими рекомендациями:
- расчеты обычно начинают с проведения линии центров Б - С из точки С под углом 36° к горизонту (рис. 7, а);
- намечают несколько положений кривых скольжения, проходящих через подошву насыпи (А) и через точки 1, 2, 3 на основной площадке. Из них выделяют кривую с наименьшим коэффициентом запаса устойчивости;
- для выявления критической кривой с минимальным коэффициентом устойчивости дополнительно проводят расчеты для кривых скольжения, проходящих через те же крайние точки, но на различном расстоянии от откоса. Центры этих кривых лежат на перпендикуляре, проведенном из середины хорды (рис. 7, б).

Рис. 7. Нахождение центра критической поверхности скольжения, проходящей через подошву железнодорожной насыпи, способом последовательного приближения
26. При наличии слабых грунтов в основании должны быть проведены расчеты для кривых скольжения, выходящих за пределы подошвы насыпи.
При отыскании опасной кривой скольжения следует учитывать, что в большинстве случаев критическая кривая пересекает основную площадку расчетного поперечника земляного полотна на дальней (по отношению к рассматриваемому откосу) границе фиктивного столба грунта от временной нагрузки. Приближение критической кривой к откосу расчетного поперечника наблюдается на насыпях небольшой высоты и при грунтах с малым значением удельного сцепления. Смещение критической кривой к дальней (по отношению к рассматриваемому откосу) бровке возможно при значительной величине удельного сцепления грунта и на насыпях большой высоты.
Для насыпей высотой 6 - 18 м при грунтах со значительным удельным сцеплением центр критической кривой находится примерно на расстоянии, равном высоте насыпи от поверхности откоса (приложение 7).
Для насыпей большей высоты, а также при грунтах с малым значением удельного сцепления центр критической кривой удаляется от поверхности откоса, приближаясь к линии центров, проведенной под углом 36° к горизонту.
Определение центра критической кривой скольжения с помощью графика Ямбу
27. Этот способ может быть применен для ненагруженного однородного по высоте откоса, а также для откоса, сложенного различными грунтами.
По графику Н. Ямбу (рис. 8) в зависимости от величины λ и средней крутизны откоса определяют безразмерные координаты xo и yo центра наиболее опасной кривой скольжения, проходящей через подошву откоса.
Абсолютные координаты получают, умножая xo и yo на величину высоты откоса Н.
Величину λ для однородного откоса вычисляют по формуле
                                                        (5)
где λ - обобщенная характеристика грунта однородного откоса;
γ - объемный вес грунта откоса, т/м3;
tg φ - коэффициент внутреннего трения;
с - сцепление, т/м2.
При малых значениях с, когда λ > 8, координаты центра допускается определять по кривым, отвечающим λ = 8.
28. Для откоса, неоднородного в геологическом отношении по высоте, расчет рекомендуется проводить в два этапа:
1) находят значения , , :
                                         (6)
                                         (7)
                             (8)
где , ,  - соответственно средневзвешенные значения объемного веса, сцепления и коэффициента внутреннего трения грунта откоса по высоте;
h 1 , h 2 , …, hn - толщины отдельных слоев неоднородного по высоте откоса, которым соответствуют значения:

Находят среднее значение величины λ для неоднородного в геологическом отношении откоса:
                                                     (9)
Координаты центра наиболее опасной кривой скольжения xoH и yoH определяют по графику Н. Ямбу при λср и средней крутизне запроектированного откоса (βср или m ср );
2) из найденного центра проводят кривую скольжения и для этой кривой уточняют расчет, определяя средневзвешенное значение  и  по полученной дуге скольжения:
                                             (10)
                          (10а)
где ln - длина отрезка кривой скольжения в пределах n -го слоя;
α n - средний угол наклона этого отрезка к горизонту;
Qn - вес блока, ограниченного кривой скольжения и вертикальными гранями, проходящими через концы отрезка ln .
Далее вычисляют исправленное значение :
                                                (11)
и по графику Н. Ямбу определяют уточненные значения координат центра опасной кривой скольжения, относительно которой и определяют расчетный коэффициент запаса. Далее можно определить  и  по вновь полученной кривой скольжения, сопоставить его с  и , и при значительном их различии повторить расчет.
Упрощенные способы расчета устойчивости откосов по круглоцилиндрическим поверхностям скольжения
29. При предварительных расчетах, например при предварительном сопоставлении различных вариантов проектируемого откоса, могут использоваться упрощенные способы расчета.

Рис. 8. График Ямбу для установления координат центра наиболее опасной круглоцилиндрической поверхности скольжения
Способ площадей
30. Сущность способа площадей заключается в том, что необходимые для вычисления коэффициента устойчивости величины нормальных и тангенциальных сил и их суммарные значения определяются графически (рис. 9 и приложения 8, 9).

Рис. 9. Графический расчет устойчивости откоса способом площадей
Коэффициент запаса устойчивости вычисляется по формуле

где

n - коэффициент устойчивости;
Ni , Ti - нормальная и тангенциальная составляющие веса грунта (Тсдв - в активной зоне, Туд - в пассивной);
N , T - нормальная и тангенциальная составляющие нагрузки на основную площадку (Р);
f = tg φ - коэффициент внутреннего трения грунта;
γ - объемный вес грунта, т/м3;
с - удельное сцепление грунта, т/м2;
z - длина поверхности скольжения, м;
R - радиус кривой скольжения, м;
α - центральный угол, определяющий поверхность скольжения грунта.
Расчеты выполняются в такой последовательности.
В масштабе 1 : 100 или 1 : 200 на миллиметровке вычерчивают поперечный профиль земляного полотна, на который наносят расчетную кривую.
Отсек, ограниченный расчетной кривой, как при обычном расчете, разбивают на блоки. Через точки пересечения линий, ограничивающих блоки, с кривой скольжения из ее центра проводят радиусы.
Из точек, лежащих на пересечении линий откоса и границы блоков, опускают перпендикуляры на радиусы, проходящие через соответствующие точки на кривой скольжения.
Полученные в результате данного построения отрезки, равные значениям Ni и Ti (при объемном весе грунта 1 т/м3), откладывают от горизонтальной линии, являющейся проекцией кривой скольжения. Нормальные и тангенциальные силы со знаком «плюс» откладываю вверх, а тангенциальные со знаком «минус» - вниз. Концы всех отрезков соединяют плавными кривыми.
Определяют площади фигур ω1, ω2, ω3, ограниченных линиями нормальных и тангенциальных сил и горизонтальной линией, и вычисляют суммарные значения нормальных и тангенциальных сил:

где ω1 - площадь многоугольника, отражающая величину нормальных сил;
ω 2 , ω3 - площади многоугольников, отражающие величины тангенциальных сил, сдвигающих и удерживающих соответственно;
γ - объемный вес грунта.
Значения N и Т от вертикальной нагрузки на основной площадке (Рп и Рв) находят следующим образом: равнодействующая от нагрузки Рп и Рв, определенная в границах кривой скольжения, в принятом масштабе откладывается на вертикали от точки, расположенной на пересечении линии, проходящей через центр тяжести, с кривой скольжения. Нормальная N и тангенциальная Т силы устанавливаются графически таким же образом, как и значение для каждого блока, и суммируются с Σ Ni и Σ Ti от веса оползневого массива.
Сила сцепления, действующая по поверхности скольжения, определяется обычным способом: С = Σci · li .
Коэффициент устойчивости вычисляется по формуле ( 4) с учетом полученных значений ΣNi ,Σ Т i ,· Σci · li .
По найденной критической кривой скольжения производится контрольный расчет определения коэффициента устойчивости по основному способу.
Расчет по вспомогательным таблицам
31. При выполнении предварительных расчетов устойчивости откосов, сложенных однородными грунтами, для определения коэффициентов устойчивости откосов различной крутизны и для установления предельной высоты откосов при заданном значении коэффициента устойчивости могут быть использованы вспомогательные таблицы проф. М.Н. Гольдштейна, составленные на основании ранее выполненных расчетов по методу круглоцилиндрических поверхностей скольжения. При использовании этих таблиц коэффициент устойчивости находят из выражения
                                                (12)
где А и В - коэффициенты, зависящие от положения кривой скольжения (табл. 4, 5);
Н - высота откоса, м;
γ , φ, с - расчетные характеристики грунтов.
Критическая высота откоса при заданной его крутизне и установленном коэффициенте запаса равна:
                                                  (13)
При расчетах устойчивости откосов последовательно вычисляют пять значений коэффициента устойчивости (или предельной высоты откоса), соответствующие различному положению центров кривых скольжения, для чего в формулы подставляются коэффициенты А и В, взятые из табл. 4. Наименьший из найденных коэффициентов запаса устойчивости соответствует критической кривой скольжения.
Таблица 4

Для проверки устойчивости откосов по кривым скольжения, выходящим за пределы подошвы насыпи, в табл. 5 приведены коэффициенты А и В для кривых, проходящих на глубинах, равных 0,25 Н; 0,5 Н; Н; 1,5 Н.
Нагрузка на основной площадке насыпи учитывается в расчете путем замены ее эквивалентным столбом грунта высотой z (п. 9 и 12) и соответствующим увеличением на эту величину высоты откоса.
При определении предельной высоты откоса полученная расчетом величина Н соответственно уменьшается.
Таблица 5

Расчет по графику Д. Тейлора
32. Предварительный расчет устойчивости однородных ненагруженных откосов при отсутствии фильтрации и выхода грунтовых вод на поверхность откоса можно выполнять по графику, составленному Д. Тейлором (рис. 10).

Рис. 10. График числа устойчивости:
D - отношение высоты призмы обрушения (от отметки верха откоса до отметки нижней точки кривой скольжения) к высоте откоса
На графике даны кривые с различным значением угла внутреннего трения. При этом предусматриваются три случая расположения кривой скольжения.
1 случай . Наиболее опасная критическая кривая скольжения проходит через подошву откоса; число устойчивости определяется по сплошным кривым. Когда сплошные кривые отсутствуют, данный случай можно рассматривать как случай 2.
2 случай . Критическая кривая скольжения проходит ниже подошвы откоса. Число устойчивости определяется по кривым, представленным на графике штрих-пунктиром. Когда эти кривые отсутствуют, то критическая кривая проходит через подошву откоса.
3 случай . На отметке подошвы откоса залегает скала или слой прочного грунта. Число устойчивости определяется кривыми, изображенными коротким пунктиром.
Зная число устойчивости , принимаемый по табл. 7, минимальный коэффициент запаса устойчивости n , угол внутреннего трения j , по графику можно найти угол наклона откоса. Для этого величину  и соответственно tg φ уменьшают в n раз . По новому значению  вычисляют угол внутреннего трения, уменьшенный пропорционально коэффициенту запаса устойчивости. По величине  и уменьшенному углу внутреннего трения φ определяют угол наклона откоса по графику.